domingo, 11 de septiembre de 2011

Ecuaciones en el Conjunto de los Naturales

Para comenzar el tema; siempre es bueno conversar sobre algunos puntos; como por ejemplo:

A) Igualdades Numéricas.
B) Igualdades Algebraicas o Literales.

A) Igualdades Numñericas:

Es la relacion que cuando se efectúa la o las operaciones indicadas en el lado izquierdo del signo de la igualdad, resulta el número que esta a la derecha de dicho signo:
Ejemplo:

  • 7 + 8 = 15
  • 9 - 3 = 6
B) Igualdades Algebraicas o Literales:

Estas igualdades tienen una sub-clasificación:

     B.1) Identidades.

     B.2) Ecuaciones.


B.1)  Identidades: 

Son aquellas que para cualquier valor que se le asigne a la variable la igualdad numérica se cumple:

Ejemplo:
  • 2X + X = 3X                   , X = 5
    2.5 + 5 = 3.5
     10 + 5 = 3.5
            15= 15
B.2) Ecuaciones:

Es aquella igualdad que se cumple para ciertos valores de la incógnita o variable.

Ejemplo:
  • X + 2 = 8        Que solo se cumple la igualdad numérica; cuando X = 6.

Ejemplos de Ecuaciones:

A) X - 2 = 5          ;          B) 7 + Z = 10          ;          C) 2Y = 18

Como puedes observar; el signo Igual ( = ) divide a las ecuaciones dadas en dos partes: lado izquierdo del signo, denominado primer miembro y lado derecho denominado segundo miembro, las letras     (X, Y, Z) son las variables o incógnita y corresponden a los valores que hay que determinar para que la ecuación se convierta en una igualdad numérica.

A cada una de las cantidades que están conectadas con los signos mas ( + ) o menos
( - ) se le denomina términos.

Ejemplo:
  













Ejercicio # 1: Señale los miembros, los términos y la incógnita en las ecuaciones dadas.

A) X + 5 = 8

B) 3Y = 18

C) 14 = 20 - 3X


Reglas para Resolver Ecuaciones en N

En esta sección estudiaremos un método más general para resolver las ecuaciones en el conjunto N. Aplicaremos las siguientes regles para facilitar la solución.

  • Si a los dos miembros de una ecuación se sumara o se restan cantidades iguales, la solución de la ecuación no se altera.
  • Si los miembros de una ecuación se multiplican o se dividen por una misma cantidad, la solución no se altera.
  • Si los signos de todos los términos de una ecuación se cambian, la solución no se altera.
Ejemplo: Comprobar la Regla #1 en la siguiente ecuación:

                             X + 7 = 15           , Sabemos que la igualdad se cumple para X = 8
                            
       Ahora sumemos 5 a los miembros.

                             X + 7 + 5 = 15 + 5
                                 X + 12 = 20
La solución de la ecuación resultante sigue siendo  X = 8


Metodo para Resolver Ecuaciones en N

El metodo que ultilizaremos para hallar  la solución de una ecuación, se basa en las reglas dadas anteriormente. Las ideas consisten en aislar la incógnita y aplicar las reglas anteriores.

Ejemplo # 1: Resolver la siguiente ecuación:

           2X + 1 = 7                Restemos 1 en ambos miembros
           2X + 1 = 7 -1
           2X = 6  =>  X = 6     =>   X = 3
            2      2               2
Divimos ambos miembros
entre 2.


Ejercicio #2: Resolver la siguiente Ecuación:

            5Z - 11 = 14
            5Z - 11 + 11 = 14 + 11          Sumamos 11 ambos miembros
            5Z = 25   => Z = 25   =>   Z = 5
             5      5                 5
Divimos ambos miembros
entre 5


Ejercicio #3: Resolver la siguiente Ecuación:

            9 = 16 - Y                  Sumamos Y a ambos miembros

            9 + Y = 16 - Y + Y

            9 + Y = 16                 Restamos 9 ambos miembros 

            9 - 9 + Y = 16 - 9

            Y = 7

Método General para Resolver una Ecuación en N

Este método consiste en la transposición de los términos, y lo vamos a resumir en tres reglas fundamentales:

Regla #1: Cualquier término de una ecuación puede ser trasladado (transpuesto) de un miembro a otro si se le cambia el signo.

Regla #2: Si la cantidad que acompaña la incógnita esta multiplicando, puede pasarse al otro miembro dividiendo.


Regla #3: Si la cantidad que acompaña a la incógnita la esta dividiendo, puede pasarse al otro miembro multiplicando.

Ejemplo #1: Resolver la siguiente Ecuación

                   5X + 15 = 25

                   5X = 25 - 15     => 5X = 10     =>   X = 10     =>   X = 2
                                                                                    5

Ejemplo #2: Resolver la siguiente Ecuación 

                   X - 6 = 8
                   4

                   X = 8 + 6   =>  X = 14    =>  X = 4 . 14    =>  X = 56
                   4                       4

Ejercicio#2: Resolver las siguientes Ecuaciones:

A) 3U + 1 = 25

B) 11 = 2X - 39

C) 108 + 2Y = 168

D) W + 5 = 6
         5
E) 19 = 6Z + 1


























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